\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Afstand van een punt tot een rechte

Hallo hier ben ik weer met een probleem
De afstand d(P,r) van een punt P met coördinaten (xP, yP) tot een rechte r met vergelijking ax + bx + c = 0 wordt gedefinieerd als de afstand d(P,Q) met Q het snijpunt van de loodlijn uit P op de rechte r. Er wordt gevraagd om de vgl van l te bepalen (l is de loodlijn uit P op r)
Ik kom hiervoor uit :
y - yP = (b/a)(x-xP)
Vervolgens wordt gevraagd de coördinaten van Q te bepalen, waarbij Q het snijpunt is van de rechten r en l. Om dit te bekomen heb ik het stelsel van de vgl van de rechte van l met ax + by + c opgelost en kom voor uit
-voor y : ((-b3-b2ayP-abc)/(a3-ab2)) + (b/a)x
P + yP
-voor x : ((-b2-(b/a)yP - ac) /(a2+b2)
En als laatste met de afstand berekenen tussen P en Q, zijnde de afstand d(P,r)

Wat heb ik fout gedaan om het opgegeven antwoord hiervoor
|axP + byP + c| / √(a2+b2)
niet te bekomen?

nogmaals dank voor uw hulp

Peggy
Iets anders - zaterdag 24 januari 2004

Antwoord

Voor de leesbaarheid (en het typgemak) noem ik P(p,q).

We hebben ax+by+c=0 (1) en
y-q=b/a(x-p). (2)
Als we naar het einddoel van de 'opgave' kijken dan moeten we straks
√((x-p)2+(y-q)2) uitrekenen.
Het is dus handig om het stelsel op te lossen naar x-p en y-q. Als we deze kennen weten we als toegift ook de coordinaten van het snijpunt wel te vinden.
We schrijven (1) om in de volgende vorm:
a(x-p)+ap+b(y-q)+bq+c=0, dus
a(x-p)+b(y-q)=-c-ap-bq. (1a)
(2) schrijven we om naar a(y-q)=b(x-p) (2a)
(1a) vermenigvuldigen met a en 2a vermenigvuldigen met b levert dan het stelsel:
a2(x-p)+ab(y-q)=a(-c-ap-bq) (1b)
ab(y-q)=b2(x-p) (2b)
Conclusie:
(a2+b2)(x-p)=a(-c-ap-bq), dus x-p=-a(c+ap+bq)/(a2+b2)
dus x=p-a(c+ap+bq)/(a2+b2).
Met (2) vinden we y-q=-b(c+ap+bq)/(a2+b2) dus
y=q-b(c+ap+bq)/(a2+b2).

(x-p)2+(y-q)2=a2(c+ap+bq)2/(a2+b2)2+b2(c+ap+bq)2/(a2+b2)2=
(ap+bq+c)2/(a2+b2),waaruit volgt dat de afstand van P(p,q) tot ax+by+c=0 gelijk is aan |ap+bq+c|/√(a2+b2)

Merk op dat het handiger is eerst P en de rechte zo te verschuiven dat P' in de oorsprong terecht komt. Dus een translatie over (-p,-q)
(1) en (2) krijgen dan de vorm:
a(x+p)+b(y+q)+c=0 oftewel ax+by=-c-ap-bq (1d) en
y=b/ax. (2d)
Dit levert na vermenigvuldiging van (1d) met a en (2d) met ab het stelsel:
a2x+aby=-a(c+ap+bq)
aby=b2x,
waaruit volgt (a2+b2)x=-a(c+ap+bq), dus x=-a(c+ap+bq)/(a2+b2)en
y=-b(c+ap+bq)/(a2+b2).
Voor de oorspronkelijke coordinaten van het snijpunt moet dan weer teruggetransleerd worden over de vector(p,q), waaruit bovenstaand snijpunt volgt.
De gevraagde afstand is dan √(x2+y2)=|c+ap+bq|/√(a2+b2).
Het bijzondere hieraan is dat (1d) de vorm ax+by=-c-ap-bq had.
Conclusie: de afstand van (0,0) tot ax+by+d=0 is gelijk aan |d|/√(a2+b2).


zondag 25 januari 2004

©2001-2024 WisFaq