Algemene formule voor inhoud afgeknotte kegel

Ik heb toennet de algemene formule voor de inhoud van een afgeknotte kegel proberen af te leiden, maar ik vind hem nogal groot, zou hij nog kleiner kunnen of vereenvoudigd kunnen worden?
Dit is de formule die ik heb gevonden:
Inhoud afgeknotte kegel = (((1/3pBB^2 + 1/3pBB + 1/12p)(1/2BB * H)) / (1/2BB - 1/2BO)) - (((1/3p)(1/2BO)^2)(((1/2BB * H)/(1/2BB - 1/2BO)) - H))

Waarbij:
- BB voor de breedte boven (dit is eigenlijk het grondvlak van de kegel, maar in de opdracht bij mij stond 'ie op zijn kop)
- BO voor de breedte onder (dit is dus het vlak waar de kegel afgeknot is)
- H voor de hoogte

Alvast bedankt.
Willem.

Willem
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 4 januari 2004

Antwoord

Het kan inderdaad met een iets kortere formule.
Noem ht de hoogte die de kegel zou hebben als hij niet afgeknot zou zijn.
Dan geldt:
(ht-h):ht = BO:BB
ofwel:
ht = h·BB/(BB-BO)
De inhoud van de niet-afgeknotte kegel is ¹/₃·¹/₄BB²·p·ht
dus:
¹/₁₂p·h·BB³/(BB-BO)
De inhoud van het afgekapte kegeltje is ¹/₃·¹/₄BO²·p·(ht-h)
dus (na enig rekenwerk):
¹/₁₂p·h·BO³/(BB-BO)
Deze twee van elkaar aftrekken geeft een mooiere formule.
Hopelijk ben je daar tevreden mee
groet,

zondag 4 januari 2004

©2001-2024 WisFaq