Bewijs volgende regel: lim f(x)/g(x) voor x®+¥=lim f'(x)/g'(x) voor x®+¥
Deze tip krijgen we er ook nog bij: neem aan dat a0 en beschouw de functies F,G: [0,1/a]®:t®f(1/t) en f is differentieerbare functie. En de stellingen van Rolle, Lagrange en Cauchy zullen er ook wel iets mee te maken hebben
Roel D
Student universiteit België - dinsdag 15 april 2003
Antwoord
Zij f(x), g(x) polynomen. f(x)=åfk xk g(x)=ågl xl
1. lim f/g = aÎ\{0} impliceert k=l delen door xl maakt alle coefficienten gelijk 0 en resteert: fk/gk deze zelfde limiet word verkregen bij de afgeleides QED
2. lim f/g = 0 impliceert lk delen door xk maakt alle coefficienten in de teller gelijk 0 en noemer gelijk: gk. deze zelfde limiet word verkregen bij de afgeleides QED
voor niet-polynomen volgt de regel van l'hospital mbv de stelling van taylor die elke differentieerbare functie omzet tot het verwante taylorpolynoom waarmee de bewijslast aldaar komt te liggen.
formeel mag l'hopital enkel gebruikt worden in differentieerbare punten en oneindig is geen punt. Door de transitie naar F(x)=f(1/x) wordt dit probleem omzeild.