Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Taylorpolynomen restterm

Ik heb een vraag over de taylorpolynomen. Bij het benaderen van een getal mbv een taylorpolynoom heb je een restterm. Voor het berkenen van de restterm gebruiken we Rn(x) = (fn+1(s))/((n+1)) ˇ (x-a)n+1. Ik begrijp echter niet hoe de s wordt gekozen bij het berekenen van de restterm. Kan iemand mij dit uitleggen?

Plinna
Student universiteit - woensdag 7 december 2022

Antwoord

De $s$ wordt niet gekozen; de stelling zegt dat er een $s$ bestaat, tussen $a$ en $x$ (en afhankelijk van $x$ en van $n$) zó dat
$$f(x)=T_n(x) +R_n(x)
$$Je gebruikt dit om $R_n(x)$ af te schatten, niet om hem te berekenen.
Bijvoorbeeld:
$$\sqrt x= 1+\frac12(x-1)+R_1(x)
$$met
$$R_1(x) = -\frac14s^{-\frac32}\cdot\frac1{2!}(x-1)^2
$$Dat vertelt ons bijvoorbeeld dat $\sqrt x < 1+\frac12(x-1)$ als $x\neq1$.
Nu kun je $\sqrt{\frac32}$ benaderen met $1+\frac12(\frac32-1)=1+\frac14$.
En $R_1(\frac32)$ kun je afschatten, eerst $x=\frac32$ invullen:
$$-\frac18\cdot s^{-\frac32}\cdot\frac14 = -\frac1{32}\cdot s^{-\frac32}
$$Van $s$ weet je alleen dat $1 < s < \frac32$, dus het beste wat je kunt zeggen is dat $s^{-\frac32}$ kleiner dan $1$ is.
En dus in ieder geval
$$\frac54 > \sqrt{\frac32} > \frac54-\frac1{32}
$$

kphart
woensdag 7 december 2022

 Re: Taylorpolynomen restterm 

©2001-2024 WisFaq