\require{AMSmath}

Het bepalen van een been bij een gegeven bissectrice en een been

Wanneer ik twee rechte lijnen heb, zeg y = a*x en y = u*x die beide door de oosrprong gaan en waarbij 0 $<$ a, 0 $<$ u en a $>$ u, dan is de vergelijking van de bissectrice:

y = x*(sqrt(a^2+1)*u+sqrt(u^2+1)*a)/(sqrt(a^2+1)+sqrt(u^2+1))

Mijn vraag is nu als volgt. Stel dat gegeven is de vergelijking van de onderste lijn y = u*x en de vergelijking van de bisectrice y = v*x. Wat is dan de vergelijking van de bovenste lijn y = b*x?

Ad van
Docent - vrijdag 1 juli 2022

Antwoord

Dan geldt
$$b=\frac{uv^2+2v-u}{1+2uv-v^2}
$$Dat ziet men het snelst met behulp van de optelformule voor de tangens:
$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\,\tan\beta}
$$Gebruik dit met $\alpha$ de hoek die $y=v\,x$ met de positieve $x$-as maakt en $\beta$ de hoek die $y=u\,x$ met de positieve $x$-as maakt. We zoeken dus $\tan(\alpha+(\alpha-\beta))$ en dat wordt
$$\frac{\tan\alpha+\tan(\alpha-\beta)}{1-\tan\alpha\,\tan(\alpha-\beta)}
=\frac{v+\frac{v-u}{1+uv}}{1-v\frac{v-u}{1+uv}}
$$Na uitwerken komt bovenstaande $b$ tevoorschijn.

kphart
vrijdag 1 juli 2022

©2001-2024 WisFaq