Beste kphart, Ik loop direct alvast. Ik wil er graag figuren bij hebben, zodat ik visueel kan volgen wat er gebeurt. Je moet mijn niveau schatten op Mavo-niveau.
Jaap v
Iets anders - donderdag 27 september 2018
Antwoord
Teken zelf een ellips; je ellips had vergelijking $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$dus deze gaat door de punten $(\pm a,0)$ en $(0,\pm b)$. (Neem voor het gemak bijvoorbeeld $a=5$ en $b=3$. Dan is $e$, je brandpuntsafstand, gelijk aan $4$. De richtlijn $\ell$ is gegeven door $x=d$, teken die rechts van de ellips. Er is een vast getal $\alpha$ (tussen $0$ en $1$) zo dat voor elk punt $X$ op de ellips de verhouding tussen de afstand van $X$ tot $F=(e,0)$ en de afstand van $X$ tot $\ell$ gelijk is aan $\alpha$. Bekijk de twee speciale punten $X_1=(a,0)$ en $X_2=(0,b)$, voor $X_1$ is de verhouding gelijk aan $(d-a)/(a-e)$ en voor $X_2$ is de verhouding gelijk aan $a/d$. Nu kun je $$ \frac{d-a}{a-e}=\frac da $$omwerken tot de gewenste relatie. Zie de wikipediapagina voor ellips voor meer plaatjes (daar is $f$ de brandpuntsafstand en $e$ de vaste factor die ik net $\alpha$ heb genoemd).
Wat de hyperbolen betreft: de transformatie in het antwoord neemt de tweede hyperbool, $xy=a$, draait deze eerst $45^\circ$ naar rechts en vouwt vervolgens de asymptoten naar elkaar toe, of uit elkaar, totdat de eerste hyperbool ontstaat.
Dit is een reactie op vraag 86870 
