\require{AMSmath}

Bewijs dat driehoek ABC rechthoekig is

Ik zit vast bij deze vraag:

Voor een driehoek ABC geven we:

a+c=b.√3
$\angle$B=60°
a$>$c.

• Bewijs dat de driehoek rechthoekig is.

Iemand die me op weg kan helpen?

Stijn
Student universiteit België - dinsdag 28 augustus 2018

Antwoord

We weten dat $a+c=\sqrt{3}b$, dat kwadrateert tot

$3b^2 = a^2 + 2ac + c^2$. ...[1]

Aan de andere kant vertelt de cosinusregel dat

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B) = a^2 + c^2 - ac$ ...[2]

Tel bij [1] tweemaal [2] op, dan krijg je:

$3a^2 + 3c^2 = 5b^2$. ...[3]

Dat aan de ene kant. Laten we het verhaal van een andere kant bekijken door $AC$ vast te zetten. Dan is de som van de lengtes $AB+BC=a+c$ een vast getal, dus ligt $B$ op een ellips met brandpunten $A$ en $C$.

Zonder nu de algemeenheid te verliezen, kunnen we coördinaten kiezen voor $A$ en $C$, om het gemakkelijk te maken $A(-1,0)$ en $C(1,0)$, zodat $b=2$ en dus $a+c=2\sqrt{3}$.

Hieruit kunnen we afleiden dat de formule van de ellips is gegeven door: (zie eventueel de link onderaan voor wat hulp)

$\eqalign{\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1}$

oftewel:

$2x^2 + 3y^2 = 6$ ...[4]

Bovendien kunnen we $a^2=(x-1)^2+y^2$ en $c^2=(x+1)^2+y^2$ uitdrukken in $x$ en $y$. Substitueren we dit in [3], dan levert dit na vereenvoudiging op:

$6x^2 + 6y^2 = 14$. ...[5]

Combineer [4] en [5] handig, en je vindt een uitdrukking voor $x^2$ die je het gevraagde bewijs geeft. Ik laat dat nog aan jou over.

Met vriendelijke groet,

Zie De formule van een ellips opstellen

FvL
dinsdag 28 augustus 2018

©2001-2024 WisFaq