Iz1 * z2I = Iz1I * Iz2I door de formule _ IzI = (z * z) te gebruiken.
Alvast bedankt!!!
inge
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 1 maart 2003
Antwoord
In de eerste plaats denk ik dat de formule die je doorgeeft niet correct is. Staat er onder het wortelteken niet het product van z met zijn geconjugeerde z (met een streepje erboven?) Ik ga daar nu even van uit; heb ik het mis, kom dan maar gerust nog even terug.
Als we uitgaan van z = a + b.i dan is de modulus van het getal z gelijk aan |z| = (a2 + b2). Maar dan dus ook: |z|2 = a2 + b2 De vermenigvuldiging van z en zijn geconjugeerde levert op: (a + b.i)(a - b.i) = a2 - ab.i + ab.i -b2i2 = a2 + b2, dus |z|2
- - z1 *z2 = (a - b.i)(c - d.i) = ac - ad.i - bc.i + bdi2 = (ac - bd) - (ad + bc).i
Als je gewoon z1*z2 uitrekent krijg je ac + ad.i + bc.i + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc).i
Als je van dit laatste resultaat de geconjugeerde neemt, dan verandert de middelste + in een - en dat is precies wat we daarvóór gevonden hadden.
De derde stelling volgt uit hetgeen we als eerste bewezen.