\require{AMSmath}

Taylor

Er geldt:

Voor alle x$>$0 geldt dat x - x³/6 $\le$ sin(x)

Via Taylor:

neem f(x)=sin(x)
x₀=0

Nu is
sin(x) = x - x³ + R₄(x,c)

met R₄(x,c) de sluitterm van de vierde orde.

R₄(x,c) = sin(c).x⁴/4!
voor een zeker punt c tussen 0 en x.

als 0$<$x$\le\pi$, dan 0$<$c$<\pi$ en R₄(x,c) $>$0, dus x-x³/6 $\le$ sin(x)

maar als x$>\pi$, dan kan de sluitterm toch kleiner worden als 0, namelijk als $\pi<$c$<$2$\pi$

en dan klopt de uitspraak toch niet meer?

waar zit ik fout?

alvast bedankt!

Dvdrli
Student universiteit België - woensdag 25 december 2013

Antwoord

Er staat ook "een zeker punt tussen $0$ en $x$"; als $x > \pi$ dan hoeft niet noodzakelijk $c > \pi$ te gelden. Probeer maar eens passende $c$s te vinden bij $x=\pi$, $x=\frac32\pi$ en $x=2\pi$.
Overigens: als $x\ge\pi$ dan is $x-\frac16x^3$ kleiner dan $-1$ en dus zeker kleiner dan $\sin x$.

kphart
woensdag 25 december 2013

©2001-2024 WisFaq