Ik loop vast bij een optimalisatieprobleem, max(x2 - y) onder de voorwaarde 1 - x2 - y2 $\ge$ 0.
Ik heb dit proberen oplossen via de Karush-Kuhn-Tucker-voorwaarde en dit werd dan mijn stelsel: mu $\le$ 0 2x + 2·mu·x = 0 -1 + 2·y·mu = 0 mu(-1+x2+y2) = 0 -1+x2+y2 $\le$ 0
Geval 1: mu = 0 kan niet Geval 2: mu verschillend van 0 Hier lukt het mij echter niet om de juiste oplossing te vinden. Ik het uit de 3e vgl een uitdrukking voor y gehaald en dit gesubstitueerd in vgl 4. En dan eens stesel gemaakt met deze vorm van vgl 4 en vgl 2. Maar ik kom geen oplossingen uit.
Kan iemand mij helpen? Alvast mercitjes!
Sigova
Student universiteit België - zondag 12 mei 2013
Antwoord
De genoemde methode zal een erg fraai stukje wiskunde zijn, maar is mij helaas volledig onbekend. Maar misschien kan/wil/mag je het ook simpeler aanpakken. Het gebied waarbinnen je moet blijven is een massieve cirkelschijf rond de oorsprong met straal 1. Als je x2 - y = c noemt, dan is y = x2 - c waaraan je ziet dat het gaat over een verzameling dalparabolen met de top op de y-as. Wanneer je nu bijv. c = 0 kiest, dan heb je te maken met de standaardparabool y = x2 en alle punten op deze parabool die tevens in je gebied liggen, leveren dus een waarde 0 op voor x2 - y. Neem je nu bijv. c = 1, dan gaat het over de parabool y = x2 - 1. Voor deze (lager liggende) parabool levert x2 - y dus steeds de waarde 1 op. Daarmee is de oplossing wel gevonden. Je laat de parabool nét zo lang omlaag gaan, dat hij nog nét contact houdt met je gebied. Dat betekent dat de parabool y = x2 - c de cirkel moet raken en als ik goed gerekend heb, gebeurt dat voor c = 11/4. Als je c nog groter zou kiezen, dan verliezen de parabool en de cirkel contact zodat er geen oplossing meer te geven is. Wanneer je c negatief kiest, dan gaan de parabolen omhoog en op het moment dat hij op de noordpool van je cirkel staat krijg je dus de kleinste waarde voor x2 - y (namelijk -1)