\require{AMSmath}

Limieten en (over)aftelbaarheid

Beste,
in het middelbaar leert iedereen dat bv. lim_x$\to$0¹/_x gelijk is aan ±oneindig. Maar inmiddels weet ik dat er verschillende soorten oneindig bestaan, bv. aftelbaar en overaftelbaar. Maar welk van de twee is dan van toepassing bij het berekenen van pakweg bovenstaande limiet? Of dirac delta(0)? Bij functies naar de reële getallen lijkt overaftelbaarheid enerzijds logisch, maar langs de andere kant kan je ook tellen dat de functiewaarde groter word dan 1, dan 2, dan 3 enzovoort en zo kan je ze tellen. En als je de limiet voor x$\to$oneindig berekend, is het dan zinvol een onderscheid tussen aftelbaar en overaftelbaar te maken? En bij uitbreiding, stel dat je bij functies van $\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ maar één soort oneindig kan uitkomen, gaat het andere geval dan wel in één of andere (eindigdimensionale) ruimte?

Wouter
Student universiteit België - maandag 11 maart 2013

Antwoord

De $\infty$ die je in limiet-uitdrukkingen gebruikt en het 'oneindig' in 'oneindige verzamelingen' hebben niets met elkaar te maken.
Het symbool $\infty$ is er om formules en vergelijkingen wat korter op te schrijven: $\lim_{n\to\infty}\frac1n=0$ is een korte schrijfwijze voor "voor elke $\epsilon>0$ bestaat een $N\in\mathbb{N}$ zó dat voor alle $n\ge N$ geldt $\frac1n<\epsilon$". In die officiële formulering komt $\infty$ niet voor.

De termen 'aftelbaar' en 'overaftelbaar' hebben hier niets mee te maken. Die gebruiken we om aan te geven of er al dan niet een bijectie bestaat tussen $\mathbb{N}$ en een gegeven verzameling.

kphart
dinsdag 12 maart 2013

©2001-2024 WisFaq