uit een punt D ( x1,y1 ) trekken we raaklijnen t1 en t2 aan y2=2px. Bewijs dat de rico's van de raaklijnen de oplossingen zijn van de vergelijking 2x1 m2 - 2y1 m + p = 0. Voor welke D ( x1, y1) is t1 loodrecht op t2?
Weet wel dat een vergelijking aan de parabool van de vorm y1y=2p(x+x1) is, maar wat is dan de rico van 2 raaklijnent1 en t2?
Vannes
3de graad ASO - dinsdag 20 november 2012
Antwoord
Je formule voor de raaklijn zou juister zijn als D óp de parabool ligt, maar dan moet het getal 2 er wel van wegblijven. Om al die indices 1 te vermijden, noem ik D niet (x1,y1), maar gewoon (a,b). Een willekeurige lijn met rc = m door D ziet er dan uit als y - b = m(x - a). Door x = a te nemen, zie je dat dit klopt. Ga deze lijn nu snijden met de parabool, wat o.a. kan door y te vervangen door y = mx + (b - am). Dit geeft m2x2 + 2m(b - am)x + (b - am)2 = 2px. Dit is een vergelijking van de tweede graad namelijk m2x2 + (2mb - 2am2 - 2p)x + (b - am)2 = 0.
Omdat je wilt dat je raaklijnen krijgt, moet de discriminant van deze vergelijking nul zijn, dus (2mb - 2am2 - 2p)2 - 4.m2.(b - am)2 = 0
Dit nu 'gewoon' uitwerken (en er valt van alles weg!) leidt ten slotte tot de gewenste vergelijking.
Als de twee raaklijnen loodrecht op elkaar moeten staan, dan moet het product van de rc's -1 worden. Je kent vermoedelijk de formule voor het product van de twee oplossingen van een tweedegraads vergelijking. Hier m1m2 = c/a en de a en de c heb je, namelijk a = 2ap en c = p2. Deze waarden krijg je overigens pas na die taaie uitwerking.
