De volgende opgave geeft nog al twijfels vanwege een ontwijkend antwoord met dat van het model kan iemand mij corrigeren?:
Gegeven is de functie f met f(x)=20cos(¦Ð4x)+10 op [0,16]. a.Bepaal het bereik van f. b.Bereken alle nulpunten van de grafiek van deze functie. c.Los op: f(x)¡Ü0.
a. Bf=[-10,30] b.Nulpunten f(x)=0
20cos(¦Ð4x)+10=0 20cos4pix-10 cos4pix=-1/2 4pix=(2/3)+k 2pi of 4pix=(4/3)pi + k 2pi x=1/6 +1/2 k of x=1/3 +1/2 k nu weet ik niet of dit antwoord aan het domein van [0,16] voldoet ik weet niet de meetkundige betekenis van een 1/2 k hier tevens weet ik niet of dit antwoord ook echt goed is het model heeft n.l: f(x)=0 geeft x=83+k⋅8¡Åx=-83+k⋅8. De nulpunten zijn (223,0),(513,0),(1023,0) en (1313,0).???
bouddo
Leerling mbo - vrijdag 9 november 2012
Antwoord
Het bereik is in orde. De periode is 2p/4p = 1/2 en dat betekent dat je per half hokje ¨¦¨¦n complete golf te zien krijgt. Omdat je domein 16 hokjes breed is, krijg je dus zo'n 32 golven te zien. Nu de nulpunten. Uit cos(4px) = -1/2 volgt 4px = 2/3p + 2kp of 4px = -2/3p + 2kp wat leidt tot x = 1/6 + k.1/2 of x = -1/6 + k.1/2. Voor k mag je nu een willekeurig geheel getal kiezen, maar om het aantal oplossingen (het zijn er oneindig vele) enigszins te beperken, moet je binnen je domein blijven. Neem je bijvoorbeeld k = 108, dan krijg je o.a. de oplossing x = 1/6 + 108.1/2 = 325/6 en dat is ruim boven de 16. Deze op zich juiste oplossing wordt nu dus verworpen. Om kort te gaan, je neemt steeds een andere k en zolang je maar in het domein [0,16] uitkomt, heb je een oplossing die mag meetellen. Omdat de periode zo klein is, worden het er toch nog wel erg veel. Wat de antwoorden van de cursus aangaat: als je de opgave correct hebt overgenomen en niet bij de verkeerde antwoorden hebt gekeken, dan zijn ze wel erg fout.
