\require{AMSmath}

Oppervlakte integraal

Helaas moet ik jullie weer lastigvallen met twee vragen betreffende een uitwerking.Wie helpt mij uit de misere?.
Het betreft de functie f(x) = x1-1/4x² waarvan de primitieve gezocht wordt m.b.v.de onbepaalde integraal:
Sx1-1/4x²dx = S1-1/4x²d(1/2x²)
=21-1/4x²d(1/4x²)=2.I
Nu substitueren:
Stel 1/4x²=t
I=S1-t dt= -1-t d(1-t)
= -S(1-t)tot de macht 1/2 d(1-t)
= -2/3(1-t) tot de macht 1 1/2
Probleem 1: de voorlaatste twee stappen
-S1-t d(1-t) =-S(1-t)tot de macht 1/2 d(1-t)
blijven voor mij een raadsel.
Vraag 2:Waarom substitueren.Is de vorm S x1-1/4x²dx
niet rechtstreeks te primitiveren,en zo ja hoe .?????
Mijn dank is bij voorbaat al giga groot.

kees
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 15 januari 2003

Antwoord

Rechtstreeks gaat het niet, maar het is maar net wat je rechtstreeks noemt.
Laten we eens een andere manier proberen (hoewel het in feite op hetzelfde neer komt als je meestuurde).
De methode van substitutie werkt hier zo goed, omdat de afgeleide van ¹/₄x² gelijk is aan ¹/₂x en die x is precies hetgeen vóór de wortel staat. Dat is natuurlijk geen toeval; anders gezegd, als die x er niet zou staan dan wordt het weer een heel ander en misschien zelfs ondoenlijke integraal!

Stel nu eens die hele wortelvorm gelijk aan t.
Als je dan kwadrateert krijg je: 1 - ¹/₄x² = t² en dat geeft na differentiatie: -¹/₂xdx = 2tdt ofwel xdx = -4tdt.
Nu terug naar de oorspronkelijke integraal. Die wordt nu de integraal van de volgende vorm: t.-4tdt
De eerste t is dus de wortelvorm en de -4tdt komt van de combinatie xdx in de oorspronkelijke integraal.
Al met al heb je nu dus een simpele integraal terug gekregen, namelijk de integraal van -4t²dt en dan kun je nu wel verder.

MBL
woensdag 15 januari 2003

©2001-2024 WisFaq