Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Convergentie van een reeks

Gegeven is de reeks SIGMA((-1)n+1 · n · x^(2n+1)).
Gevraagd is het convergentiegebied te bepalen van deze reeks. Volgens Maple:
$>$ s:=x$\to$sum((-1)^(i+1)·i·x^(2·i+1),i=1..infinity);
$>$ plot(s(x),x=-10..10);
is deze reeks convergent.

Hoe lossen we dit formeel op? Met de voorwaarde van Leibniz voor convergentie van wisselreeksen komen we nergens om het convergentiegebied te bepalen.
Via de test van d'Alembert kunnen we alleen uitspraak doen over de absolute convergentie van de reeks (ik vind hier ]-1,1[ wat klopt).
Hoe kunnen we nu de 'gewone' convergentie over gans R bewijzen?

Koen
Student universiteit - zaterdag 11 januari 2003

Antwoord

Hoi,

Volgens mij is de reeks enkel binnen ]-1,1[ convergent. Je kan dit bewijzen door bv de partieelsommen uit te rekenen.

Je reeks is
Rn(x)=x3.Sn(x2)

waarbij
Sn(t)=
1-2t+3t2-4t3+..+(-1)n+1.n.tn-1=
d/dt(t-t2+t3-t4+...(-1)n+1.tn)
=d/dt[(1-(-t)n+1)/(1+t)]
=...
Hiermee heb je dus een gesloten uitdrukking voor Sn(t) en dus ook voor Rn(x). Je rekent na dat lim(Rn(x),x$\to\infty$) enkel bestaat voor |x|<1. Of anders gezegd: de reeks is enkel convergent voor |x|<1.

Je kan de convergentie van Rn(x) ook bewijzen op basis van de absolute convergentie van Sn(t). Dan gebruik je inderdaad d'Alembert en moet je de partieelsommen niet uitwerken...

Groetjes,
Johan

andros
maandag 13 januari 2003

©2001-2024 WisFaq