Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Kenmerken van vierdegraadsfuncties?

Voor ons Wiskunde D PO moeten wij vierdegraadsfuncties behandelen. Graag willen wij uitleggen wat de verschillende kenmerken zijn van een vierdegraadsfunctie en wat de verschillende variabelen in de volgende formule doen:
f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e

Wat wij wel al weten:
a geeft de breedte van de grafiek en of het een berg of dal is:
a0, dal
a0, berg
f'(x) = 0 geeft de toppen van f(x)
f''(x) = 0 geeft de buigpunten van f(x)

Zou iemand ons hiermee kunnen helpen?

Alvast bedankt!

Jaap
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 16 april 2010

Antwoord

Hallo, Jaap.

Stel f(x) = a·g(x) met g(x) = x4+px3+qx2+rx+s.
We kijken eerst naar de kenmerken van g(x), en wat p,q,r,s hier doen.
Vervolgens betekent vermenigvuldigen met a, inderdaad, de grafiek in de lengte (dwz in de richting van de y-as) vermenigvuldigen met |a| en daarna spiegelen in de x-as als a0.

Stel g(x) = h(x) + s, met h(x) = x4+px3+qx2+rx.
We kijken eerst naar de kenmerken van h(x), en wat p,q,r hier doen.
Vervolgens betekent vermeerderen met s een verschuiving (translatie) over afstand |s|, in de richting (0,1) van de positieve y-as als s0 en in de tegenovergestelde richting als s0.

De afgeleiden van de functies g(x) en h(x) zijn gelijk, en wel
g'(x) = h'(x) = 4x3+3px2+2qx+r.
De nulpunten van g'(x) zijn precies die van f '(x) = ag'(x) (tenzij a=0, wat niet de bedoeling is). Aangezien een derdegraadsfunctie ofwel 1 ofwel 3 tekenwisselingen heeft, heeft f(x) ofwel 1 ofwel 3 toppen.

De tweede afgeleide van f(x) is
f "(x) = ag"(x) = ah"(x) = 12x2+6px+2q.
Een tweedegraadsfunctie heeft 0 of 2 tekenwisselingen, dus f(x) heeft 0 of twee buigpunten.

Ik weet niet hoever de analyse moet gaan.
Nog dit:
Als f(x) vier reële nulpunten x1 en x2 en x3 en x4 heeft, dan is
f(x) = a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4).
Werkt men nu het rechterlid uit, dan vindt men
-p = x1 + x2 + x3 + x4,
q = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4,
-r = x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4,
s = x1x2x3x4.

Teken eens de mogelijke grafieken van tweede-, derde- en vierdegraadsfuncties in verband met de mogelijke aantallen tekenwisselingen en toppen.
Zie je ook verband tussen het aantal toppen van de grafiek van een vierdegraadsfunctie en de mogelijke aantallen buigpunten?


hr
vrijdag 23 april 2010

©2001-2024 WisFaq