Het grootste volume van een balk ingeschreven in een ellipsoïde
Beste,
Aan volgende opdracht geraak ik niet wijs uit:
Bepaal de afmetingen van een balk met het grootste volume, ingeschreven in de ellipsoïde x2/a2+ y2/b2+z2/c2=1 en met de zijvlakken evenwijdig met de coördinaatvlakken.
Aangezien deze opdracht te maken heeft met gebonden extreme waarden, zal waarschijnlijk de methode der multiplicatoren van Lagrange gebruikt moeten worden.
Als ik deze methode toepas bekom ik: L(x,y,z,l)= x.y.z + l(x2/a2+y2/b2+z2/c2-1)
Dit vormt dan een stelsel van 4 vergelijkingen en 4 onbekenden, maar als ik daaruit de zijden (x,y & z) bepaal mbv mijn GRM, komen deze waarden niet overeen met de opgegeven oplossing voor deze opgave. De oplossingen zouden: 2a/Ö3,2b/Ö3 en 2c/Ö3 moeten zijn, wat dan een volume van 8abc/3Ö3 geeft Ik denk dat mijn fout komt, doordat ik de evenwijdigheid met de coördinaatvlakken niet als beperkingen heb vermeld.
Graag had ik wat hulp bij deze opgave, alvast bedankt.
Andy
Student Hoger Onderwijs België - maandag 21 december 2009
Antwoord
Andy, De gegeven oplossing geeft de lengte van de zijden van de balk.Differentiëren van de Lagrange functie en oplossen geeft b2x2=a2y2,c2y2=b2z2 en a2z2=c2x2. Invullen in de ellipsoide geeft x=±a/√3, enz.
