Beste, hoe moet je volgende stelling bewijzen: 'Als L een stochastische matrix is, dan geldt voor alle eigenwaarden lambda, dat abs (lambda) kleiner of gelijk zijn aan 1. Bovendien is lambda = 1 steeds een eigenwaarde' ;
bij voorbaat dank ;
Tom
Tom
Student universiteit België - dinsdag 21 april 2009
Antwoord
De kolommen hebben som 1; reken nu LTx uit waarin x de vector met allemaal enen is. Je zult zien dat x een eigenvector van LT is met eigenwaarde 1, dus 1 is ook een eigenwaarde van L zelf. Als y een willekeurige eigenvector van LT is dan is elke coordinaat van LTy een (gewogen) gemiddelde van de coordinaten van y. Neem voor het gemak even aan dat de eerste coordinaat van y de grootste absolute waarde heeft; de absolute waarde van de eerste coordinaat van LTy is dan kleiner dan of gelijk aan |y1| en ook gelijk aan |lambda||y1|; wat zegt dit over |lambda|?