Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Derde graadsvergelijking

Beste mensen,
Hoe toon je aan dat voor het oplossen van een derdegraads vergelijkging het kwadratische deel niet noodzakelijk is?
Is het een voldoende bewijs als ik de vorm
x3 + a·x2 + b·x + c = 0 omzet in (door subtitutie) de vorm y3+ p·y + q = 0 ?
Als dit niet zo is, hoe zou ik het dan moeten aantonen?
Alvast bedankt.
bobby

bobby
Student hbo - donderdag 4 december 2008

Antwoord

Beste Bobby,

Ik meen dat zelfs een bewijs niet noodzakelijk is.
Door de (handige) substitutie van:
x = z - a/3
gaat de vergelijking over in een andere vergelijking, waarvan het aantal wortels (z) overeenkomt met het aantal wortels (x) van de eerste vergelijking. En dat aantal is hier belangrijk!
Door die substitutie verdwijnt de term met x2. Maar de wortels x kunnen vanwege die substitutie 'eenvoudig' uit de wortels z worden teruggevonden.

Kijk eens naar een simpeler voorbeeld: x2 - 3x - 4 = 0.
Door de substitutie x = y - 1 verdwijnt hier de 'bekende' term (-4):
(y - 1)2 - 3(y - 1) - 4 = 0
y2 - 5y = 0
y = 0, y = 5 geeft dan (zie de substitutie) x = -1, x = 4

dk
donderdag 4 december 2008

©2001-2024 WisFaq