Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

RCL-keten

Hoi,

Ik wil voor mijn tentamen een opdracht oefenen maar ik kom er helemaal niet uit. De opdracht is om de spanning in de spoel uit te rekenen in de volgende schakeling: je hebt ingangsspanning Uin, vervolgens komt er een weerstand, spoel en dan een condensator. Dit zijn de formules die ik mag gebruiken:
UR= RI
UL= L IL
UC= 1/C IC(t)dt
IL= 1/L UL(t)dt
IC= CU'c

In de uitkomst mogen alleen de variabelen Uin, R, L, C en UL zitten.
De start van het probleem kom ik wel uit denk ik.

Uin=IRR+ILL+1/CIC(t)dt
Verder kom ik er niet uit en ik weet niet zeker of ik goed begonnen ben.

Ik hoop dat er iemand is die me kan helpen, vooral omdat dit een specifiek probleem is.

Alvast bedankt!

Robin
Student hbo - dinsdag 18 maart 2008

Antwoord

Hallo Robin,

De spanning van respectievelijk de spoel, de weerstand en de condensator zijn:

UL = LdI/dt
UR = RI
UC = Q/C

Hierbij zijn Q de lading, I de stroom (= de tijdsafgeleide van de lading). R (de weerstand), C (de capaciteit) en L (de inductantie of zelfinductie) zijn gewoon (positieve) evenredigheidconstanten.

Bij een serile schakeling is de ingangsspanning gelijk aan de som van de overige spanningen. Er geldt dus dat

Uin = UL + UR + UC = LdI/dt + RI + Q/C

We weten nu dat I = dQ/dt en dus dat dI/dt = d2Q/dt2. Vullen we dit in, dan krijgen we het volgende

Uin = Ld2Q/dt2 + RdQ/dt + Q/C

Een particuliere oplossing hiervan is een constante lading Qp. De afgeleides zijn dus nul.

Uin = Qp/C

De homogene vergelijking geeft

0= Ld2Q/dt2 + RdQ/dt + Q/C

Als we hier een trialfunctie Q = Q0ekt in invullen (met Q0 een constante), krijgen we

0 = Lk2Q0ekt + RkQ0ekt +Q0ekt/C = Q(t)(Lk2 + Rk + 1/C)

Dit moet gelden voor alle tijden en dus moet er gelden dat

Lk2 + Rk + 1/C = 0

Als we dit nu oplossen naar k, is de vergelijking opgelost.

k = (-R (R2 - 4L/C))/2L

Voor deze vergelijking zijn er nu drie mogelijkheden. Als R2 - 4L/C 0, dan bestaat de wortel. Doordat L en C positief zijn, is R2 - 4L/C R2 en dus is (R2 - 4L/C) R en uiteindelijk is (-R + (R2 - 4L/C))/2L dus kleiner dan nul. (-R - (R2 - 4L/C))/2L is duidelijk kleiener dan nul. Beide oplossingen zijn dus van het type Q ~ e-|k|t. Deze xponentile gaat dus heel snel naar nul.

Een andere mogelijkheid is dat R2 - 4L/C = 0. Dan hebben we maar n oplossing voor k, die negatief is.

De laatste mogelijkheid is dat R2 - 4L/C 0. Dan is de wortel imaginair en hebben we

k = (-R (R2 - 4L/C))/2L = (-R i(4L/C - R2))/2L

De oplossing van de homogene differentiaalvergelijking is dus Q(t) = Q0exp ((-R i(4L/C - R2))/2)t) = Q0e-Rt exp(it(4L/C - R2))/2))

De regel van de Moivre vertelt ons dat eix = cos(x) + isin(x). We krijgen dus Q(t) = Q0e-Rt (cos(t(4L/C - R2))/2)) + isin(t(4L/C - R2))/2)))

Het rele en imaginaire deel zijn beide oplossingen, de oplossing van de differentiaalvergelijking is dus een lineaire combinatie van de twee ofte Q(t) = c1e-Rt cos(t(4L/C - R2))/2)) + c2e-Rt (sin(t(4L/C - R2))/2)) met c1 en c2 constanten.

De oplossing van de totale vergelijking is de som van de particuliere oplossing en de homogene oplossing. Daar er voor de homogene oplossing drie gevallen zijn, geldt dat ook voor de totale oplossing.

Hoplijk is het enigszins duidelijk.

Frank

FvS
donderdag 20 maart 2008

 Re: RCL-keten 

©2001-2024 WisFaq