Continue fct zonder nulpunten altijd strikt positief of negatief?
Beschouw een continue functie f: ®(gedefinieerd op gans ). Veronderstel dat f geen nulpunten heeft. Dan zijn slechts volgende twee situaties mogelijk: ofwel is f overal strikt positief (dwz voor alle x Î is f(x) 0), ofwel is f overal strikt negatief (dwz voor alle x Îis f(x) 0).
Ik moet argumenteren dat deze stelling waar of vals is. En hierbij refereren naar evt relevante resultaten.
Ik dacht dat deze stelling waar was,op mijn gevoel. Aangezien een functie niet strikt positief of negatief is, ze nulpunten moet hebben. (denk ik). Maar ik besef dat dit totaal geen aanvaardbaar argument is en waarschijnlijk niet eens juist. Kan iemand mij helpen in welke richting dat ik dat moet argumenteren. Want ik heb vanalles gezien continuiteit /limieten/afgeleiden...
studen
Student universiteit België - woensdag 5 december 2007
Antwoord
Beste Vicky,
De stelling klopt en is een gevolg van de continuïteit van de functie. Het bestaan van een nulpunt als de functie wel van teken wisselt, volgt uit de 'tussenwaardestelling':
Als f:[a,b]® continu is en f(a)yf(b), dan is er een c in [a,b] zodat f(c) = y.
Indien f(a) en f(b) een verschillend teken hebben, dan kan je y = 0 nemen en bestaat er dus een nulpunt x = c waarvoor f(c) = 0.
®
0), ofwel is f overal strikt negatief (dwz voor alle x Î
0).
y