Twee parabolen snijden elkaar in 4 punten. De assen van de parabolen staan loodrecht op elkaar. Bewijs dat de 4 snijpunten een koordenvierhoek vormen.
Gerard
Ouder - zaterdag 13 oktober 2007
Antwoord
Beste Gerard, Het lijkt zo eenvoudig, maar.. Met Cabri kan je zoiets mooi controleren of de stelling klopt. Dat zat wel snor. Ik heb het eerst tevergeefs geprobeerd te bewijzen met projectieve meetkunde. Dat lijkt een logische weg. Toen maar algebraisch. Stel de ene parabool (1) heeft vergelijking y=ax2+bx+c. De andere (2):y2=x. Deze vereenvoudiging is toegestaan, omdat we het plaatje altijd kunnen uitvergroten of verkleinen, zodat binnen een ander domein de vorm van parabool (2) vrij kan worden gekozen. Uit (2) volgt: x2=y4 Invullen in (1) geeft: y=ay4+by2+c of: (3): a·y4+b·y2-y+c=0.
Nu veronderstellen we een cirkel met straal r en middelpunt (p,q). De vergelijking is: (x-p)2+(y-q)2=r2 (2) invullen geeft: (y2-p)2+(y-q)2=r2 Haakjes uitwerken geeft: y4+(1-2p)y2-2qy+p2+q2-r2=0 Vermenigvuldigen met a geeft (4): a·y4+a(1-2p)·y2-2aq·y+a(p2+q2-r2)=0 Wil deze cirkel voldoen aan (1) en (2), moet hij voldoen aan (3). Dan moet gelden: a(1-2p)=b -2aq=-1 a(p2+q2-r2)=c
Hiermee kan je p,q en r uitdrukken in a,b en c: p=(a-b)/(2a) q=1/(2a) r2={(a-b)2+1-4ac}/(4a2)
Punten die voldoen aan (3) , ofwel de snijpunten van de parabolen, liggen nu op deze cirkel.
Een voorbeeld: y=2x2-10x+4 y2=x cirkel: (x-3)2+(y-1/4)2=113/16 Controleer zelf door deze grafieken te tekenen met een grafische rekenmachine of een computer programma.
(x)