Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Inverse bepalen in een lichaam van 27 elementen

Gegeven het lichaam Z3modulo X3+2X+1
Ofwel: {a + bM + cM2 | a,b,c ÎZ3}
Dit is dus een lichaam met 27 elementen.
De vereenvoudigingsregel is M3+2M+1=0 Û M3=M+2

Gevraagd de inverse van X2
Dan moet dus gelden:
M2(pM+q) = 1 Û pM3+qM2=1
en dit gecombineerd met de vereenvoudigingsregel geeft:
qM2+pM+2p=1
wat dan neerkomt op het stelsel
p=0
q=o
2p=1

En hier loop ik vast. Ik kan geen p en q vinden.
Ook heb ik alle 27 elementen van dit lichaam uitgeschreven, en gezocht naar de inverse van X2.
Die inverse moet toch in ieder geval van de eerste graad zijn?
Maar ik kan niet op X2 · kandidaatinverse = 1 uitkomen.
Ben benieuwd naar een gouden hint!

Groeten,
Gerrit.

Gerrit
Student hbo - maandag 24 september 2007

Antwoord

Mogelijkheid 1.
Bepaal de grootste gemene deler van X2 en X3+2X+1; als het goed is is die 1.
Gebruik hiervoor het algoritme van Euclides voor polynomen (mod 3), je vind dan twee polynomen p en q zo dat p(X)·X2+q(X)·(X3+2X+1)=1; dan is p(X) de inverse van X2.
Mogelijkheid 2.
Verbeter je aanpak en zoek een inverse van de vorm aX2+bX+c.

kphart
dinsdag 25 september 2007

©2001-2024 WisFaq