ik heb een vraag in verband met genererende functies
ik zoek de formule voor 1+x+x3+x5+... aldus de oneven getallen
ik weet de formule voor even getallen
1/ (1-x2)
dit is dus de formule voor 1 + x2 + x4 + ...
dus ik dacht aan 1 / (1-x2)x
dit zou x+x3+x5 enzovoort
en dit is bijna wat ik zoek: (ik zoek echter 1+x+x3+x5+.. met nadruk op die 1 van voor)
Ik ben hier maar luidop aan het denken, mogelijk verkeerd maar
als ik nu 1+x en dan x3+x5+x7+... genereer
krijg ik
(1-x2)/(1-x) en [1/(1-x2)x]-x
mag ik nu zo stellen van
[(1-x2)/(1-x)]+ ([1/(1-x2)x]-x) ofzo,
m.a.w. HELP!
bedankt!
jeffre
Student universiteit België - dinsdag 21 augustus 2007
Antwoord
Beste Jeffrey, De reeks die jij opgeeft: 1+x+x3+x5+... is niet helemaal een meetkundige reeks. De reden (vermenigvuldig factor)zou zijn x2, maar niet van term 1 naar term 2! Het zou dus logischer zijn om de reeks bij x te laten beginnen, dan heb je een meetkundige reeks met beginterm x en reden x2. De som voor n$\to\infty$ is dan beginterm/(1-reden)=x/(1-x2). Het enige wat je nu nog mist voor jouw reeks is de term 1, dus: tel die er bij op! Dan krijg je:
1+x/(1-x2)= (-x2+x+1)/(1-x2)
Je eerste poging was dus al bijna het juiste antwoord!... Je kan het antwoord altijd controleren met bijvoorbeeld de berekening: