Ik moet de volgende bewering bewijzen of weerleggen:
Elk interval a,b in is gelijkmachtig met 2
Hoe moet ik dit aanpakken? Ik moet laten zien dat het interval a,b evenveel elementen heeft als 2
Nu weet ik dat ~ kan ik dan ook zonder meer zeggen ´~´?
Ik heb een uitwerking, alleen begrijp ik deze niet, er wordt namelijk het interval -1/2p,1/2p bijgehaald wat met de tangens gelijkmachtig zou zijn aan
Zo krijg ik een projectie van lijnstuk ab lijnstuk -1/2p,1/2p en een punt zodat ik kan zien dat beide lijnstukken evenveel elementen bevatten...
Kunnen jullie me helpen?
Groetjes Heidi
heidi
Student hbo - woensdag 4 juli 2007
Antwoord
Beste Heidi,
"evenveel" is hier niet zo'n handig begrip omdat beide verzamelingen oneindig veel elementen hebben. Ik kende deze naam nog niet, maar twee verzamelingen zijn gelijkmachtig als er een inverteerbaare (bijectieve) functie is die de een op de ander af beeld. In zekere zin hebben ze dan inderdaad "evenveel" elementen. Inderdaad wordt -p/2,p/2 afgebeeld op , en wel door de functie tan(x). Ik zie nog niet helemaal hoe deze afbeelding hierdoor op 2 wordt afgebeeld. Waarschijnlijk wordt bedoeld dat je een serie afbeeldingen gebebruikt. Je zegt zelf al dat eigenmachtig is met (ik zou nog even moeten nadenken welke bijectie je daarvoor gebruikt). Aan de andere kant is weer eigenmachtig met 2 en dus weer met 2. Aan de voorkant van de rij is elke interval a,b eigenmachtig met -p/2,p/2. Daarmee is het bewijs compleet.
a,b
in 
is gelijkmachtig met 
2