Ik heb een probleemstelling waar ik niet helemaal uitkom!! Ik ben me er helemaal blind op aan het staren en ik dacht dat het misschien beter is om het aan een ander te vragen die er verstand van heeft. Wegens geheimhouding van een bedrijf kan ik niet geheel uitleggen waar het probleem over gaat maar ik kan het ook eenvoudig omschrijven:
Gegevens: De kans op succes = p = 3/256. N = populatiegrootte = onbekend!!!! k = aantal malen succes.
Ik wil graag weten hoe groot ik N moet nemen om te hebben:
P(k = 10)0,95
Ik denk dat het met een binomiale kansverdeling uitgerekend kan worden als volgt: [met (N,10) bedoel ik N boven 10 en met xx 10 bedoel ik tot de macht 10]
(N,10)* 3/356 xx 10 * 253/256 xx (N-10) 0,95
Dan moet ik N dus kunnen berekenen. Maar ik kom er niet helemaal uit!!! Weet u misschien hoe ik N kan berekenen??? Alvast heel erg bedankt!!! Met vriendelijke groet Femke Hoogervorst
Femke
Student universiteit - donderdag 31 oktober 2002
Antwoord
Hoi,
Op een tikfoutje na, is je formule correct. We bekijken enkel gevallen met n10.
Neem p=3/256, q=1-p. Dan is de kans bij n trekkingen inderdaad: p(n)=n!/[10!.(n-10)!].p10.qn-10
of met l=(p/q)10/10! en f(n)=n(n-1)(n-2). .. . (n-9): p(n)=l.f(n).qn
En dus voor n10: p(n)<l.n10.exp(n.ln(q))
We bekijken nu voor welk waarde g(x)=l.x10.exp(x.ln(q)) een maximum bereikt:
g'(x)=l.[10.x9.exp(x.ln(q))+x10.ln(q).exp(x.ln(q))] Zodat g'(x) hetzelfde tekenverloop heeft als 10+ln(q)x. Bij x=-10/ln(q)@848.324 heeft g(x) een maximum en daarna daalt g(x) (omdat ln(q)<0). In dit maximum bereikt g(x) net geen 0.134.
We besluiten dus: p(n)<0.134 voor alle n... Je vraag heeft dus geen oplossing.
Dit kan tegenintuïtief lijken, maar bedenk dat je vraagt om precies 10 keer succes te hebben, niet om minstens 10 keer succes te hebben... Als dit is wat je wou, laat het dan maar weten...
0,95 