\require{AMSmath}

Cirkel

In een cirkel met straal R rolt een kleinere cirkel met straal R/3 inwendig rakend aan de eerste cirkel. In de kleinere cirkel rolt een nog kleinere cirkel met straal R/9 inwendig rakend. Hoe groot is de totale oppervlakte die de kleinste cirkelschijf kan beschrijven?

jop
2de graad ASO - vrijdag 19 januari 2007

Antwoord

De cirkel met straal ¹/₃R heeft een diameter van 2/3R, en omdat hij tegen de binnenrand van de grote cirkel aan zit, blijft er dus ¹/₃R over aan lege ruimte rondom het middelpunt van de grote cirkel.
ofwel de cirkel met straal ¹/₃R die rondrolt beschrijft een oppervlak van grote cirkel min lege ruimte rond middelpunt = pR²-p(¹/₃R)²
= 8/9.p.R²

Binnenin de cirkel van ¹/₃R bevindt zich dus nòg een cirkel en wel met straal 1/9R. Eigenlijk doet deze straal er niet toe. Want de 1/3R-cirkel rolt namelijk rond, en terwijl die rondrolt, rolt de kleinste cirkel ook rond.
Stel je voor dat je de kleinste cirkel eerst in inkt zou dopen, en je zou de 1/3R-cirkel stil laten staan. Dan zie je dat er een cirkelvormig spoor van de kleinste cirkel zou overblijven.
Maar nu laat je de 1/3R cirkel langzaam rondrollen. dan is het inkspoor geen cirkel meer maar een soort spiraal die meeloopt.
En die maakt uiteindelijk het kele 8/9pR²-gebied zwart

teken het maar eens uit.

groeten,
martijn

mg
zaterdag 20 januari 2007

©2001-2024 WisFaq