Er wordt gevraagd om te bewijzen dat de argument sinus hyperbolicus een elementaire functie is maar ik weet eigenlijk niet wat een elementaire functie is.
Alvast bedankt voor u tijd.
Hans
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 26 december 2006
Antwoord
Een elementaire functie is een functie die is samengesteld uit variabelen en constanten, met als toegestane bewerkingen het optellen, delen, vermenigvuldigen, machtsverheffen, worteltrekken, exponentiële en logaritmische. Dus de vraag is eigenlijk om na te gaan dat die argsinh geen 'nieuwe' functie is, maar dat die is opgebouwd uit elementen die je 'al kent', zoals logaritmen en zo.
Hoe pak je dat het beste aan: als y=argsinh x dan x = sinh y = (ey-e-y)/2. Stel dan even ey=t en probeer dit op te lossen naar t. Tip: vermenigvuldig links en rechts met t en maak je geen zorgen over die x, die moet erin blijven staan, je krijgt een kwadratische vergelijking in t, die je natuurlijk kan oplossen. Gebruik dan nog even dat y=ln(t) (dus t moet positief zijn, daarmee weet je meteen welke oplossing van je kwadratische vergelijking je moet gebruiken), en dan heb je y=argsinh x geschreven als elementaire functie.
