Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Partieel integreren in meerdere stappen

Beste WisFAQ,

Ik heb zelf een aantal integralen geprimitiveerd met behulp van partieel integreren.
Maar nu zit ik vast bij een som, er is een x2.
Hoe moet ik deze som nu verder oplossen? Er staat dat er verschillende stappen partieel integreren gebruikt moeten worden...

De som is:
òx2sin(x)dx

Hoe moet ik dit oplossen!?
Alvast bedankt,

Ruben

Ruben
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 3 november 2006

Antwoord

bij partieel integreren gaat het erom dat je bij een produkt van functies (in jouw geval x2.sinx) het ene stukje primitiveert, en het andere stukje differentieert. Wanneer je dit *handig* doet kun je uiteindelijk dat 'vervelende' produkt laten verdwijnen.
We primitiveren eerst sinx (naar -cosx) en daarna differentiëren we de x2 (naar 2x):

òx2sinxdx = [-x2cosx] - ò(-2xcosx)dx
= [-x2cosx] + ò2xcosxdx

Het slechte nieuws is dat ik nog steeds een integraal met een produkt erin heb overgehouden, maar het GOEDE nieuws is dat ik die x2 ge'downgrade' heb naar 2x.
Dus als ik bij die intgeraal hetzelfde kunstje nògmaals toepas, misschien differentieer ik die x er dan wel helemaal uit:

... = [-x2cosx] + [2xsinx] - ò2sinxdx

Nou zijn we er bijna: alleen 2sinx nog primitiveren, en klaar:

= [-x2cosx + 2xsinx + 2cosx]

controleer deze primitieve door er weer de afgeleide van te nemen en te zien dat je weer op de oorspronkelijke functie x2sinx uitkomt.

groeten,
martijn

mg
vrijdag 3 november 2006

©2001-2024 WisFaq