\require{AMSmath}

Aantonen dat rij convergeert

Toon aan dat de volgende rij convergeert door te bewijzen dat ze (monotoon) stijgend en naar boven begrensd zijn of dat ze (monotoon) dalend en naar onder begrensd zijn.
U_n= (n²-1)/n²

Mijn eerste punt is dat de rij stijgend is volgens mij. n² is altijd positief. Als bewijs denk ik dat:
U_(n+1)- U_n
= (n²+1-1)/(n²+1)- (n²-1)/n²
= n²/(n²+1) - (-1) = 1+1 =2
Hieruit volgt dat U_(n+1)- U_n 0
en dus U_(n+1) U_n
en dus stijgend. Kan dit kloppen?

Als dit klopt moet ik nog aantonen dat de rij naar boven begrensd is.
Normaal gezien doen wij dit volgens: "want elk getal ..?... is een majorant. Maar nu weet ik niet hoe ik die majorant kan zien? Kan het zijn dat de majarant= elk getal -1 ?

splash
3de graad ASO - vrijdag 19 mei 2006

Antwoord

Beste Splash,

u(n) is inderdaad stijgend, maar je uitwerking klopt niet. Als u(n) = (n²-1)/n², dan moet je om u(n+1) te krijgen elke n vervangen door n+1, jij verving n² door n²+1. Dus, u(n+1) = ((n+1)²-1)/(n+1)². Snap je het verschil?

Ik vind de rij veel 'duidelijker' als we de deling uitvoeren, immers:
u(n) = (n²-1)/n² = n²/n² - 1/n² = 1 - 1/n².

Nu zie je heel gemakkelijk dat je vertrekt met een 1 en je trekt er steeds iets positiefs van af. Wat je er van aftrekt is maximaal 1 (bij n = 1) en wordt dan steeds kleiner als n groter wordt. De rij begint dus bij 0, en zal dan strikt stijgen.

Is de rij begrensd? We trekken steeds iets kleiner van die eerste 1 af, maar we zullen er nooit iets bijtellen. Zie je dan geen evidente bovengrens?

mvg,
Tom

td
vrijdag 19 mei 2006

©2001-2024 WisFaq