ggd is een overal gedefinieerde inwendige bewerking in zonder 0 want voor ieder koppel (a,b)Î0 x 0 kan je de ggd van a en b berekenen. Hoe kan ik aantonen dat deze bewerking associatief is of juist niet?
Litse
Student Hoger Onderwijs België - woensdag 8 februari 2006
Antwoord
neem a,b,c natuurlijke getallen, niet nul.
we moeten bewijzen: ggd(ggd(a,b),c) = ggd(a,ggd(b,c))
noem het linker lid L. Dan is L een deler van ggd(a,b) en van c, en er bestaat zo geen grotere deler. Uit deze gegevens moeten we tonen dat L = ggd(a,ggd(b,c)) , met andere woorden dat L een deler is van a, en van ggd(b,c), en dat als er een andere deler is van a en ggd(b,c), stel L', dat dan moet gelden LL' . Het eerste is eenvoudig: we weten dat L deler is van ggd(a,b) en van c, dus os L een deler van a, b en c, dus ook van ggd(b,c) (probeer in te zien waarom...) Het tweede, dat er dus geen grotere meer bestaat met die eigenschap: Stel dat L' deler is van a, en van ggd(b,c), dan deelt L' ook a, b en c, dus ook ggd(a,b) en c, dus uit de veronderstelling volgt dat LL'
En tis bewezen. Probeer goed de redeneringen te snappen. Waarom geldt bijvoorbeeld dat als een getal L deler is van a en van b, dat het dan ook deler is van ggd(a,b)...
zonder 0 want voor ieder koppel (a,b)Î
L' . 