Ik weet niet goed hoe te beginnen bij deze oefening, zou iemand me even verder kunnen helpen aub? :)
Zijn de volg deelverz van de vectorruimte V der different functies deelruimtes?
D1=}¦ÎV:¦2(x)=¦'(x),"xÎ}
alvast bedankt!!!
Tom
Student universiteit België - zondag 20 november 2005
Antwoord
Dag Tom,
Als je een verzameling krijgt (hier V) die al een deelruimte is, en de vraag is of een deelverzameling daarvan (hier D1) een deelruimte van V is, dan kan je het deelruimtecriterium toepassen. Dat zegt dat D1 een deelruimte is, als aan de volgende voorwaarde is voldaan:
(*) Als f,g Î D1 en a,b Î , dan ook af+bg Î D1
(Dit is de vorm van het criterium die het vaakst voorkomt, je kan ook de eisen splitsen in f,gÎWÞf+gÎW en fÎW, aÎÞafÎW)
Je mag dus starten met twee reële getallen a en b, en twee functies f en g uit je deelruimte, dwz dat f2=f' en g2=g'. Zal dan af+bg een element zijn van je deelruimte, maw zal (af+bg)2=(af+bg)'? Werk dit uit, dan staat er a2f2+2abfg+b2g2=af'+bg' En vermits f2=f' en g2=g' kan je dat nog wat omvormen, maar je zal geen algemene gelijkheid uitkomen... Dus allicht is dit geen deelruimte. Om dat aan te tonen moet je enkel nog een tegenvoorbeeld vinden (dus een a,bÎ, f,gÎD1, af+bgÏD1). Kan je een f en een g in D1 zelf vinden? (komt eigenlijk neer op het oplossen van een differentiaalvergelijking, want zo vind je de elementen van D1 en dan kan je een keuze maken voor f en g). Als het lukt dan zal je meteen wel een tegenvoorbeeld vinden waarvoor (*) niet geldt. Als het niet lukt reageer je maar op dit antwoord...
} 