Algebra
Analyse
Bewijzen
De grafische rekenmachine
Discrete wiskunde
Fundamenten
Meetkunde
Oppervlakte en inhoud
Rekenen
Schoolwiskunde
Statistiek en kansrekenen
Telproblemen
Toegepaste wiskunde
Van alles en nog wat

\require{AMSmath}

Algemene aanpak goniobewijzen

Hallo,

Ik kwam niet helemaal uit het bewijs van
(1-cos(x))/sin(x)=sin(x)/(1+cos(x))=tan(x/2) en hoe ik
sin(3x) om moet zetten in termen van sin(x) en cos(x). Ik heb wel vaker problemen met goniobewijzen. Is er geen algemene aanpak voor dit soort problemen? Geef anders ook maar links voor oefenmateriaal.

Alvast bedankt

Frans
Student hbo - dinsdag 29 juni 2004

Antwoord

Beste Frans,

1-cos(x)/sin(x) = (1-cos(x))·(1+cos(x))/(sin(x))·(1+cos(x)) = 1-cos2(x)/(sin(x))·(1+cos(x)) = cos2(x)+sin2(x)-cos2(x)/(sin(x))·(1+cos(x)) = sin2(x)/(sin(x))·(1+cos(x)) delen door sin(x) levert sin(x)/1+cos(x).

Nu nog bewijzen dat dit gelijk is aan tan(1/2x). tan(x) = sin(x)/cos(x), dus tan(1/2x) = sin(1/2x)/cos(1/2x).

Wat is sin(1/2x)? Wel cos(2x)=1-2·sin2(x) $\Leftrightarrow$ cos(2·1/2x) = 1-2·sin2(1/2x) $\Leftrightarrow$ cos(x) = 1-2·sin2(1/2x) $\Leftrightarrow$ sin(1/2x) = ±√(1-cos(x)/2) teken afhankelijk van kwadrant.

Uit dezelfde verdubbelingsformule volgt dat cos(1/2x) = ±√(1+cos(x)/2) wederom is het teken afhankelijk van de ligging.

Dus tan(1/2x) = sin(1/2x)/cos(1/2x) = ± √(1/2(1-cos(x))/1/2(1+cos(x))) =
±√((1-cos(x))/(1+cos(x))) teller en noemer vermenigvuldigen met (1+cos(x)) in de breuk levert
±√((1-cos(x))(1+cos(x))/(1+cos(x))2)
$\Leftrightarrow$tan(1/2x) = ±√(1-cos2(x)/(1+cos(x))2) wortel wegwerken levert tan(1/2x) = (sin(x)/(1+cos(x))). Controleer als tan(˝x) niet gedefinieerd is, dan (sin(x)/(1+cos(x))) ook niet gedefinieerd (dus noemer 0), én waarom het '±'-teken weggelaten is (bedenk: kan 1+cos(x) ooit negatief worden? Dus het teken van (sin(x)/(1+cos(x))) wordt bepaald door de sin(x), is het teken van tan(˝x) altijd hetzelfde als sin(x) zo ja: dan mag de ± weggelaten worden anders niet). En dat moesten we bewijzen.

Hoe je sin(3x) omzet in termen van sin(x) en cos(x)? Daarvoor maak je gebruik van de somformule sin(3x) = sin(2x + x) = sin(2x)·cos(x) + cos(2x)·sin(x). En sin(2x)=2·sin(x)·cos(x) en cos(2x)=cos2(x)-sin2(x)=1-2·sin2(x)=2·cos2(x)-1.
En dan zou 't moeten lukken. Voor meer formules bekijk deze site.

Het is een kwestie van de juiste formules gebruiken en met inzicht 'goochelen'.

Groetjes,

Davy.

Davy
dinsdag 29 juni 2004

©2001-2024 WisFaq