Het construeren van een regelmatige 7-hoek met alleen een passer en lineaal is niet mogelijk. Dat heeft Gauss ooit bewezen. Maar nu is mijn vraag of jullie weten hoe dat bewijs ging want ik kan het op internet niet vinden.
Pietje
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 25 mei 2004
Antwoord
Stel dat je een regelmatige 7-hoek wil tekenen in het vlak, met als middelpunt de oorsprong (0,0), en als één hoekpunt het punt (1,0), dus rechts van de oorsprong.
In tegenwijzerzin is het volgende punt van de zevenhoek dan: (cos(2$\pi$/7),sin(2$\pi$/7))
En dan verder (cos(4$\pi$/7),sin(4$\pi$/7)), (cos(6$\pi$/7),sin(6$\pi$/7)), ..., (cos(12$\pi$/7),sin(12$\pi$/7)), maar dat doet er niet veel toe.
De vraag is dus of je cos(2$\pi$/7) met passer en lineaal kan construeren. Als je dat kan, komt de rest vanzelf ook.
Hoe kan je nu weten wat cos(2$\pi$/7) exact is? Wel, schrijf eens algemeen cos(7x) in functie van cos(x) door herhaald toepassen van de som- en verdubbelingsformules in de goniometrie. Ik kwam uit op: cos(7x)=64(cosx)7-112(cosx)5+56(cosx)3-7cosx.
Vul hierin x=2$\pi$/7 in. cos(7x) wordt dan cos(2$\pi$)=1; cos(x) wordt dan het getal dat je wil kennen.
Je weet nu dus dat het getal dat je wil construeren (noem het eventjes X), een oplossing is van
64X7-112X5+56X3-7X-1=0.
Als je echter hiervan de exacte oplossing laat uitrekenen, (ga naar 'veel gestelde vragen', dan categorie 'vergelijkingen', de vraag 'online een vergelijking oplossen') dan zie je dat je derdemachtswortels krijgt in die uitdrukking: er komen exponenten 1/3 voor. En dat terwijl je met passer en lineaal enkel dingen kan construeren die tweedemachtswortels bevatten. Dus je kan cos(2$\pi$/7) niet construeren, en dus ook geen regelmatige zevenhoek.
