M={ 2 -1 0 0, 1 1 0 0, 0 0 1 -1, 0 0 1 1} (dus een 4 bij 5 matix met aan rij 2 -1 0 0 en verder). Nu is me bekend uit eerdere opgaven dat de karakteritieke polynoom gelijk is aan: (x^2-2x+2)(-x^2+3x-3x) en in mijn dictaat staat dat P_T(M)=0 en dat klopt inderdaad. Maar nu moet ik M25. En er staat in mijn dictaat ook hoe ik dat doe: x^25=q(x)*pM(x)+r(x) uitwerken volgens euclides, maar hoe doe ik dat? vriendelijke groet Erik
Erik
Student universiteit - maandag 24 mei 2004
Antwoord
Hallo Erik,
Ik denk dat je dit als volgt doet: de karakteristieke polynoom is (X2-2X+2)(X2-3X+3).
M voldoet hieraan, dus als je X=M invult komt er nul uit. Maar je hebt nu M25 nodig. Gebruik daarvoor die Euclidische deling: deel X25 door de karakteristieke polynoom (X4-5X3+11X2-12X+6). Dit zal wel een stevig werk zijn, en de coëfficiënten zullen nogal groot zijn...
De rest die je overhoudt, zal nog slechts van de derde graad in X zijn, dus je zal hebben: X25=q(X)pM(X)+r(X) waarbij q(x)=X21+5X20+14X19+... (ik heb het niet helemaal uitgerekend)
Vul in die gelijkheid X=M in, dan krijg je M25=q(M)pM(M)+r(M) = q(M)*0 + r(M). = r(M)
En dan moet je enkel nog r(M) uitrekenen, maar dat is een polynoom van graad 3, dus je zal enkel nog M2 en M3 moeten berekenen om het resultaat te bekomen.
Twee opmerkingen nog: 1. Die deling zal zo lang worden dat het misschien aangewezen is ze in 3 of zo te kappen, dus X25=(X8)3X. Als je dus X8 deelt door de karakteristieke, en de rest daarvan (=graad 3) tot de derde neemt (= graad 9), en dat maal X doet (= graad 10), en dat resultaat weer deelt door de karakteristieke en daarvan de rest bekijkt (= graad 3), dan bekom je hetzelfde resultaat.
2. De matrix heeft zo een eenvoudige blokvorm met veel nullen, dat het allicht sneller gaat als volgt te werken: kwadrateer M, dat geeft M2, kwadrateer dit weer, geeft M4, weer kwadrateren geeft M8 en daarna M16. Vermenigvuldig M, M8 en M16 en je bent er. Klinkt alsof het veel werk is, maar het is eigenlijk enorm eenvoudig wegens de vele nullen.
