Ik snap zelfs de stelling niet en ik moet hem kunnen bewijzen, willen jullie me aub helpen?
A is een nxn matrix met n eigenwaarden l1, ..., ln dan is: det(A)=l1. ... .ln en sp(A)= l1+...+ln
(sp(A)= spoor van matrix A = som van de diagonaalelementen)
Alvast bedankt!
Tamara
Tamara
3de graad ASO - woensdag 11 februari 2004
Antwoord
Hoi,
Met de singuliere waardeontbinding van A kan je schrijven dat A=U.D.Vt, waarbij D=diag(li) en det(U)=det(V)=1, zodat det(A)=det(D)=l1. .. .ln.
Wat het spoor (trace) betreft, vond ik bij Wolfram enkel dat sp(A')=sp(A) als A'=B.A.B-1 (zie site voor bewijs). Dit doet vermoeden dat je bij je opgave mag/moet veronderstellen dat er n lineair onafhankelijke eigenvectoren zijn. Je kan het stuk over de determinant dan eenvoudiger met de Eigenwaardenontbinding. Via deze link vind je ook waarom A.P=P.D waarbij P de matrix is die ontstaat door de n eigenvectoren samen te plakken. Omdat de eigenvectoren LO zijn, bestaat P-1, zodat A=P.D.P-1 en dus sp(A)=sp(D).
