\require{AMSmath}

Machtreeks

Ik heb volgende week tentamen caclulus. En nu snap ik een essentieel ding voor het bepalen van bijvoorbeeld somrijen. Ik hen geen idee meer hoe ik een machreeks moet opsstellen. Ik heb bijvoorbeeld y=1/(1+z), hoe kan ik hier een machtreeks van ontwikkelen (het moet zijn: 1-z+z²-z³+z⁴.........).
Verder wordt er bijvoorbeeld ook de machtreeks gegeven van e^x: 1+z+z²/2!+z³/3!+.............

Zou u mij kunnen helpen hoe ik het structureel aanpak om zo'n reeks te ontwikkelen
bij voorbaat dank

Erik

Erik
Student universiteit - donderdag 15 januari 2004

Antwoord

De algemene manier wordt gegeven door de stelling van Taylor. Ruw gesproken komt het er op neer dat de coefficient van (x-a)^k gegeven wordt door fk(a)/k!, met fk de k-de afgeleide van f.

Het is meestal niet eenvoudig om fk(a) te bepalen voor algemene k. Je kan voor elke k-waarde wel fk berekenen, maar dat is meestal heel bewerkelijk voor grote k, en om zomaar het onderliggende verband uit de lucht te laten vallen is andere koek. Bij rationale functies valt het dan weer heel goed mee, zeker als de nulpunten van de noemer enkelvoudig zijn. Je hebt dan genoeg aan de formule voor de reekssom van een meetkundige reeks:

1+x+x²+x³+... = 1/(1-x)

Voorbeeld: de machtreeks van f(z)=z²/(z-2) rond z=1.

z² = ((z-1)+1)² = 1 + 2(z-1) + (z-1)² + 2(z-1)
1/(z-2) = 1/[(z-1)-1] = -1/[1-(z-1)] = -1(1+(z-1)+(z-1)²+(z-1)³+...

$\Rightarrow$

f(z)
= -[1+2(z-1)+(z-1)²].[1+(z-1)+(z-1)²+...]
= -1-3(z-1)-4(z-1)²-4(z-1)³-4(z-1)⁴-4(z-1)⁵-...

cl
donderdag 15 januari 2004

Re: Machtreeks

©2001-2024 WisFaq