lim (x2 + 2x - 3 )/( x - 2) = / dus niet zinvol x-2
Moet dit opgelost worden met een tekenonderzoek of kan men dat zo rechtstreeks afleiden? als je twee invult kryg je 5/0 dus een onbepaaldheid. Maar by deze oefening:
lim (x2 + 2x - 3) / (x-2)2 = + oneindig x-2
als je hier dus twee invult kryg je ook 5/0 wat toch ook een onbepaaldheid is maar als uitkomst is het + oneindig.. hoe komt dat? En hoe moet dit opgelost worden dank by voorbaat!
joris
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 13 januari 2004
Antwoord
Twee plaatjes zeggen meer dan honderd woorden:
Hieronder de grafiek van f(x)=(x2+2x-3)/(x-2)
Je ziet een verticale asymptoot voor x=2. Als x¯2 nadert f(x) tot ¥, als x2 nadert f(x) tot -¥. De limiet voor x®2 bestaat dus niet.
Hieronder de grafiek van g(x)=(x2+2x-3)/(x-2)2
Nu nadert f(x) van beide kanten tot ¥, dus de limiet voor x®2 is ¥
Wat je moet doen als je het zonder grafiek moet doen is: bij f(x)=(x2+2x-3)/(x-2): als x¯2 dan is f(x) gelijk aan 5 gedeeld door een heel klein positief getal en dit nadert tot oneindig. als x2 dan is f(x) gelijk aan 5 gedeeld door een negatief getal heel dicht bij nul en dat wordt dus heel groot negatief.
Bij g(x)=(x2+2x-3)/(x-2)2 geldt dat door het kwadraat in de noemer je van beide kanten krijgt: 5 gedeeld door een heel klein positief getal en dat wordt dus heel groot: dus ¥.