Ik heb hier twee vragen waarvan ik het antwoord niet kan vinden, misschien kunnen jullie helpen?
1. Zij f : ]a,b[ - R een (overal) afleidbare functie die een (lokaal) extremum bereikt in het punt x0 E ]a,b[. Toon met preciese redenering aan dat dan geldt dat f'(x0)=0
Is dit antwoord juist? - lim x-x0 (f(x)-f(x0)/x-x0) = f'(x0) lim x-x0 (f(x)-f(x0)/x-x0) (x-x0)=f'(x0)*0=0
2. Is de voorwaarde f'(x0) = 0 een voldoende voorwaarde opdat de functie f in x0 een extremum zou bereiken? Staaf je antwoord.
Bedankt voor jullie hulp!
bart
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 8 januari 2004
Antwoord
Hoi,
Ik vrees de je antwoord net iets te eenvoudig is en daarom aan overtuigingkracht moet inboeten...
Je weet dat x0 een extremum is van f over ]a,b[. Laten we eerst de situatie bekijken dat dit een lokaal maximum is. In mensentaal betekent dit dat wanneer je dicht genoeg rond die x0 blijft, dat f(x) links en rechts van x0 onder f(x0) blijft. Formeel betekent het dat je een d0 kan vinden, zodat: als x0-dxx0+d, dan is f(x)f(x0). Of nog: als |x-x0|d, dan is f(x)f(x0).
Je weet ook dat f'(x0)=lim[(f(x)-f(x0)/(x-x0),x®x0]. We moeten bewijzen dat f'(x0)=0.
We weten tenslotte nog dat f(x) over heel ]a,b[ afleidbaar is. De middelwaardestelling van Lagrange zegt dat er voor elke x1 en x2 in ]a,b[ een x bestaat tussen x1 en x2 zodat f(x2)-f(x1)=f'(x).(x2-x1). In het bijzonder bestaat er voor elke e0 een x(e) tussen x0 en x0+e zodat f(x0+e)-f(x0)=f'(x(e)).e. Wanneer we ed nemen, geldt bovendien dat f(x0+e)f(x0), zodat f'(x(e))=[f(x0+e)-f(x0)]/e0. Voor e®0 zal x(e)®x0 en dus zal de rechterafgeleide f'(x0)0. Opzelfde manier toon je aan voor x0-e en x0 dat de linkerafgeleide f'(x0)0. Omdat f(x) afleidbaar is, moet de linker- en rechterafgeleide gelijk zijn, zodat f'(x0)=0.
Op dezelfde manier toon je aan de f'(x0)=0 wanneer x0 een lokaal minimum is.
Wat je tweede vraag betreft, volstaat het naar f(x)=x3 te kijken in x0=0. Je rekent na dat f'(x0)=0, terwijl f(x0-e)f(x0)f(x0+e) voor e0. De functie f(x) is dus strikt stijgend rond x0 en bereikt helemaal geen extremum. Groetjes, Johan
PS: het is heel interessant om de meetkundige betekenis van afgeleide als rico van de raaklijn ernaast te nemen: links van een maximum stijgt f en is f'0, rechts ervan daalt f en is f'0. Mischien is deze benadering 'precies' genoeg, want dat stuk hierboven lijkt me nogal ingewikkeld...
R een (overal) afleidbare functie die een (lokaal) extremum bereikt in het punt x0 E ]a,b[. Toon met preciese redenering aan dat dan geldt dat f'(x0)=0 
x
f(x0). Of nog: als |x-x0|
0. 