\require{AMSmath}

Volledige inductie

Hoi,
Hoe kun je 7|11^n-4^n, met volledige Inductie bewijzen

Kees
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 16 december 2003

Antwoord

Veronderstel dat 7 | 11^n - 4^n voor alle waarden van n kleiner dan of gelijk aan een gegeven getal k. Dan geldt

7 | (11^k - 4^k)
7 | (11^k - 4^k)(11+4)
7 | (11^(k+1) - 4^(k+1) + 4.11^n - 4^n.11)
7 | (11^(k+1) - 4^(k+1) + 4.11.(11^(k-1) - 4^(k-1))
7 | (11^(k+1) - 4^(k+1))

waarbij die laatste stap volgt uit de inductiehypothese. Dus als de hypothese klopt voor alle nk dan klopt ze ook voor nk+1. De inductie kan dan worden gestart met het eenvoudig te controleren geval k=1.

Merk op dat je dit ook zonder inductie kan bewijzen:

(a+7)^n - a^n
= [å n!/[j!(n-j)!] a^j 7^(n-j)] - a^n

De sommatie loopt van j=0 tot j=n. Alle termen zijn deelbaar door 7 behalve die waarvoor n-j=0, maar die wordt er vanaf getrokken door de -a^n. Jouw vraag komt dan overeen met het geval a=4.

cl
dinsdag 16 december 2003

©2001-2024 WisFaq