Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Homogeen stelsel met niet-0 oplossing asa det(A)=0

Oké, nogmaal eens iets dat ik niet echt kan vatten. Een homogeen nxn stelsel heeft minstens 1 opl verschillend van 0 asa de determinant van dat stelsel gelijk is aan nul.

Kunnen jullie mij helpen?
Alvast danku!

Tamara
3de graad ASO - maandag 8 december 2003

Antwoord

Hoi,

Het gaat hier om n lineaire vergelijkingen in n onbekenden. Elke i-de vergelijking kunnen we schrijven als:
ai,1.x1+ai,2.x2+..+ai,n.xn=bi
Als we de matrices A=[ai,j], B=[bj] en X=[xi] definiëren, kunnen we het stelsel schrijven als A.X=B.

Als det(A)¹0, dan bestaat A-1, zodat A-1.(A.X)=A-1.B en dus X=A-1.B. Dit bewijst dat er precies één oplossing is voor het stelsel als det(A)¹0, namelijk A-1.B.

In het bijzondere geval van een homogeen stelsel, is B=0 (de constante termen zijn allemaal 0). Als det(A)¹0, bestaat er dus één oplossing, namelijk A-1.0=0. Hiermee hebben we de helft van je eigenschap bewezen: als er een oplossing is, verschillend van 0, dan moet det(A)=0.

We moeten dus nog bewijzen dat er een oplossing is, verschillend van 0 als det(A)=0. Verwijzend naar Reguliere matrices, zie je dat we A kunnen herleiden tot een bovendriehoeksmatrix waarbij minstens één rij volledig 0 is. Omdat B=0, zullen alle overeenkomstige bewerkingen op [A|B] resulteren in een matrix met ook minstens één rij volledig 0 ([A|B]: plak B als n+1-de kolom achter A).
Als er r=rang(A)n diagonaal-elementen verschillen van 0, dan betekent dit dat de eerst r vergelijkingen naar {x1, x2, ..., xr} op te lossen zijn, terwijl {xr+1, ..., xn} vrij blijven (je doet alsof ze vast zijn en schrijft xi als combinatie van xj met i=1..r en j=r+1..n). Voor elke waarde van xr+1, ..., xn heb je zo een oplossing. Er zijn dan dus oplossingen voor A.X=0 waarbij X¹0. Het volstaat bijvoorbeeld xr+1¹0 te kiezen.

Groetjes,
Johan

andros
dinsdag 9 december 2003

©2001-2024 WisFaq