Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Eigenschap adjunctmatrix

Hoe bewijs je: A.adj(A)=adj(A).A= I.det(A) ?
Ook dat daaruit volgt: Als det(A)¹0 dan geldt dat A-1 =1/det(A).adj(A) ?

Danku!
Tamara

Tamara
3de graad ASO - zondag 30 november 2003

Antwoord

Hoi,

Het gaat hier om een vierkante matrix A van orde nxn.

Voor de zekerheid zocht ik de definitie van adj(A) op. Bij MathWorld ontdekte ik dat 'adjoint' of 'adjugate' niet is wat we zoeken...

Met deze link op MathWorld raken we er wel. Gebruikmakend van definities (1) of (3) op die site definiėren we: adj(A)=[Cij]t=[Cji]=[(-1)i+j.Mij]t=[(-1)i+j.Mji].
De minor Mij is de determinant van de matrix die we uit A afleiden door de i-de rij en de j-de kolom te schrappen. De cofactor Cij=(-1)i+j.Mij.

We vinden meteen ook een paar heel bruikbare eigenschappen:
det(A)=sum(aij.Cij:i=1..n)=sum(aij.Cij:j=1..n)
In de eerste uitdrukking ontwikkelen we det(A) naar de j-de kolom, in de tweede naar de i-de rij.

We nemen B=A.adj(A)=[bij]. Dan moet bij=sum(aik.Cjk:k=1..n).
Voor i=j vinden we onmiddellijk dat bij=det(A).
Voor i ¹j kunnen we bij=sum(aik.Cjk:k=1..n) zien als de ontwikkeling van de determinant van een matrix Bij die gelijk is aan A, maar waarbij we de i-de rij vervangen door de j-de rij. Omdat de i-de en de j-de rij, met i¹j, element voor element gelijk zijn, moet det(Bij)=0. Hiermee is bewezen dat A.adj(A)=I.det(A). Op dezelfde manier bewijs je dat ook A.adj(A)=I.det(A).

Groetjes,
Johan

andros
donderdag 4 december 2003

©2001-2024 WisFaq