\require{AMSmath}

Patronen in de driehoek van Pascal

Hoe ontstaan de patronen in de driehoek van Pascal, als je de getallen in die driehoek van Pascal kan delen door een bepaald getal?

ramona
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 27 november 2003

Antwoord

De driehoek van Pascal (of Binomium van Newton) kun je ook als volgt representeren.

q16754img1.gif


De buitenste getallen zijn 1 en de andere getallen zijn de som van de 2 getallen er direct boven.
Stel je wilt de driehoek met 3 kleuren inkleuren. Eigenlijk werk je dan modulo 3.

Hoe werkt modulo rekenen.
Eigenlijk is dat werken met de resten bij deling.
Zo is 7 mod 3 = 1 en 9 mod 3 = 0.

Algemeen geldt bij optellen:
(a+b) mod n = {(a mod n) + (b mod n)} mod n

Als je de verschillende resten allemaal hun eigen kleur geeft dan zal daarom gelden dat onder een bepaalde kleuren combinatie altijd dezelfde kleur komt te staan.

Kijk maar eens naar de driehoek ingekleurd modulo 2:

q16754img2.gif


Geel: 0 mod 2 en Blauw: 1 mod 2
Blauw + Blauw = 2 mod 2 = 0 - Geel
Geel + Geel = 0 mod 2 - Geel
Geel + Blauw = 1 mod 2 - Blauw

Dus als er een rijtje gele blokjes naast elkaar staan ontstaat vanzelf een gele driehoek op zijn punt.

Kijk ook maar eens naar de volgende driehoek die modulo 3 is ingekleurd:

q16754img3.gif


Kijk maar eens naar de structuren die ontstaan. Wat kun je bijvoorbeeld zeggen over de buitenste vakjes? En over de 1 na buitenste vakjes? (Bedenk welke getallen dit zijn).

Wil je meer weten over de driehoek en welke getallen je bijvoorbeeld kunt vinden in de driehoek kijk dan ook eens bij de volgende antwoorden:

Zie Searching for Patterns in Pascal's Triangle

gm
vrijdag 28 november 2003

©2001-2022 WisFaq