\require{AMSmath}

Differentiaalvergelijkingen

Ik snap steeds een bepaald onderdeel niet bij de oplossing van een differentiaalvergelijking. Ik heb hieronder een antwoord geciteerd uit de vragenvak van WisFaq.

HOMOGENE DV: Y"-Y'=0
karakteristieke vergelijking: z2-z=0 - oplossingen z=1 en z=0
oplossing: yh(x) = A.exp(1.x) + B.exp(0.x) = A.exp(x)+B (A en B willekeurige reele constanten)

Ik snap niet hoe de oplossing uit twee delen kan bestaan, dus uit A.exp(1.x) en B.exp(0.x). Kunnen jullie dit mij uitleggen?

Rob Bu
Student universiteit - woensdag 5 november 2003

Antwoord

Bekijk toch maar eerst eens je theorie. Het aantal delen is trouwens steeds gelijk aan de orde van de vergelijking, hier dus twee. Dat geldt wel alleen voor LINEAIRE differentiaalvergelijkingen. Heb je eigenlijk de voorgestelde oplossing eens in de vergelijking gestopt? Dat had je toch wel moeten overtuigen.

Ik kan je in dit geval ook een rechtstreeksere afleiding geven, waaruit je onmiddellijk het ontstaan van de willekeurige constanten zal begrijpen

Vermenigvuldig beide leden met exp(-x)

exp(-x).y"(x)-exp(-x).y'(x) = 0

Controleer nu zelf dat dit gelijkwaardig is met

d/dx [exp(-x).y'(x)] = 0

Door te integreren komt er dan

exp(-x).y'(x) = C

met C een integratieconstante. Verder bekom je dan

y'(x) = C.exp(x)

en door een laatste maal te integreren

y(x) = C.exp(x)+D

Voor elke waarde van C en D zal die functie voldoen aan de differentiaalvergelijking. En zoals we hebben afgeleid is ook elke oplossing van differentiaalvergelijking te schrijven in die vorm. De precieze waarden van C en D worden gevonden door randvoorwaarden op te leggen, zoals bijvoorbeeld een gegeven y(0) en y'(0).

Komt er al wat meer licht?

cl
woensdag 5 november 2003

©2001-2024 WisFaq