Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Afgeleide arctan(x)

Hallo,

In de lesstof wordt afgeleid:
f(x)=arctan(x).

De afgeleide is dan f'(x)=cos2(x)=1/(1+tan2(x))=1/(1+x2). Hoe komt men in de laatste term nu aan x2.

Mvg,

George
Iets anders - vrijdag 2 mei 2003

Antwoord

De truc is dit:

er geldt altijd dat arctan(tanx)=x
dus ook dat [arctan(tanx)]'=[x]'
ofwel d(arctan(tanx))/dx = 1 $\Leftrightarrow$
(nu de kettingregel toepassen om het linkerlid uit te schrijven)
d(arctan(tanx))/dtanx · dtanx/dx = 1 $\Leftrightarrow$
d(arctan(tanx))/dtanx · (1/cos2x)= 1 $\Leftrightarrow$
d(arctan(tanx))/dtanx · (sin2x+cos2x)/cos2x = 1 $\Leftrightarrow$
d(arctan(tanx))/dtanx · (1 + tan2x) = 1 $\Leftrightarrow$
d(arctan(tanx))/dtanx = 1/(1+tan2x)

Kijk nu goed: de variabele is hier overal tanx.
Immers:
· het argument van arctan wordt tanx genoemd;
· er wordt gedifferentieerd naar tanx;
· en de uitkomst is een functie van tanx.
Maar dan mogen we net zo goed de tanx overal door x vervangen.
Zo krijg je:
d(arctan(x))/dx = 1/(1+x2)

groeten,
martijn

mg
vrijdag 2 mei 2003

Re: Afgeleide arctan(x)

©2001-2024 WisFaq