Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

bewijs de volgende recursieformule door middel van partiële integratie

hallo
wij moeten de recursieformule niet kennen en we hebben ze ook niet bekeken in de klas maar toch moeten we deze oefening maken:
de f(x) = xn · (1-x)1/2 · dx n element van N
de grenzen zijn 0 en 1
I(n) = de integrant van f(x) voor deze grenzen
en we moeten bewijzen dat:
I(n) = 2n/(2n+3)· I(n-1)
hierbij is I(n-1)= $\int{}$ xn-1 · (1-x)1/2 · dx

alvast bedankt
stijn

stijn
3de graad ASO - donderdag 1 mei 2003

Antwoord

We moeten dus min of meer de xn omzetten in een xn-1. Dat kunnen we doen door xn af te leiden naar x. Voor het toepassen van partiele integratie, integreren we dus beter eerst (1-x)1/2 zodat in een verdere stap de afgeleide van xn zal verschijnen.

(Denk in wat volgt overal de integratiegrenzen 0 en 1 bij)

In
= $\int{}$xn(1-x)1/2dx
= -2/3$\int{}$xnd[(1-x)3/2]
= -2/3{[xn(1-x)3/2]10 - $\int{}$n xn-1(1-x)3/2dx}
= (2n/3)$\int{}$xn-1(1-x)3/2dx
= (2n/3)$\int{}$xn-1(1-x)(1-x)1/2dx
= (2n/3){$\int{}$xn-1(1-x)1/2dx - $\int{}$xn(1-x)1/2dx}

of dus

In = -(2n/3)[In-1-In]

Oplossen van deze relatie naar In geeft

In = (2n)/(2n+3) In-1

Samen met I0 = 2/3 kan je nu In voor alle waarden van n bepalen.

cl
donderdag 1 mei 2003

©2001-2024 WisFaq