Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Bewijs formule Ptolemeus

Hoi!

Ik heb een vraag: zouden jullie mij uit kunnen leggen hoe ik de formule van Ptolemeus kan bewijzen?

De formule is:
AB x CD + AD x BC = AC x BD. De formule hoort bij een koordenhoek in een cirkel, maar ik heb nog niks over koorden gehad, dus als het zonder koorden kan en alleen met sinussen en cosinussen en zo, zou dat heel fijn zijn!

Ik heb veel geprobeerd maar ik kom er niet uit!
Alvast bedankt!

Esther
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 29 april 2003

Antwoord

dag Esther,

Het is niet zo gek dat je er niet zomaar uitkomt, want het is best ingewikkeld.
Eerst een hulpstelling: de stelling van Stewart.

Dit passen we toe in onze koordenvierhoek:

q10401img1.gif

f12g=d2g1+a2g2-g1g2g

Nu is DASD~DBSC (gelijkvormig omdat de hoeken gelijk zijn)
Hieruit volgt: f1:d=g1:b, dus f1b=g1d
en ook: f1:g2=g1:f2, dus f1f2b=g1g2
Verder is DASB~DDSC
Hieruit volgt: f1:a=g2:c, dus f1c=g2a

Als we dit invullen in de toepassing van Stewart, krijgen we:
f12g=bdf1+acf1-f1f2g, dus f1g=ac+bd-f2g
en hier staat de stelling van Ptolemeus!

groet, Anneke

Anneke
woensdag 30 april 2003

©2001-2024 WisFaq