De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Constructie vierhoek met gegeven zijden en diagonaal AC

Gegeven: Zijden AB = a, BC = b, CD = c en AD = d van een vierhoek. Diagonaal AC is tevens de bissectrice van hoek ∠A.
Gevraagd: Teken die vierhoek ABCD.

UITVOERING: Stel dat AX bissectrice is van ∠A, dan volgt de constructie uit een aantal opeenvolgende spiegelingen van de zijden AB = a en
AD = d, waarbij de hoek ∠BAX = ∠DAX bij elke stap iets kleiner wordt gekozen. Het is evident dat die hoek minimaal moet zijn in de optimale stand van de vierhoek (diagonaal AC is tevens bissectrice van de hoek A).

Teken AB0=a en spiegel t.o.v. AX; dit laat toe AD0 = d precies vast te leggen, met ∠B0AX = D0AX. Teken dan de bogen Bg(B0, b) en
Bg(D0, c), die elkaar snijden in C0. Meteen is duidelijk dat C0 ∉ AX.

In een volgende stap brengen we en D dichter bij AX, zodanig dat ∠B1AX = ∠D1AX en AB1 = a en AD1 = d. Vervolgens terug 2 bogen van uit B1 resp. D1 met straal b resp. c; deze snijden elkaar in C1 ∉ AX , maar C1 ligt wel al dichter bij AX dan C0. Kies dan B2 met AB2 = a nog wat dichter bij AX; spiegel AB2 t.o.v. AX. Dit laat toe om AD2 = d vast te leggen zodanig dat ∠B2AX = ∠D2AX. Bepaal dan terug de bogen Bg(B2, b) en Bg(D2, c) die elkaar snijden in C2 ∈ AX. Na een eindig aantal stappen bekomt men een vierhoek, warvan het hoekpunt C gelegen is op de bissectrice AX van de hoek ∠A.

VRAAG: Deze techniek is niet een echte constructie van wat is gevraagd, maar het blijft een benadering (zie ook de α-hoeken op de figuur). Ik weet enkel dat ∠BAX = ∠DAX, maar ik weet niets over de grootte van die hoek alsook is er niets gekend over de grootte van de bissectrice uit ∠A. Is het hier wel mogelijk om een exacte oplossing te bekomen? Indien, ja dan hoop ik van jullie een aanwijzing te krijgen om dit te realiseren. Dank je wel voor de hulp!

Jan He
Student universiteit BelgiŽ - dinsdag 17 december 2019

Antwoord

Beste Jan,

Ik ga er voor het gemak even van uit dat, zoals in jouw figuur, $d$>$a$ en ik neem je naamgeving over.

Stel je nu voor:
Als je $D$ spiegelt in $AC$ naar $D'$, dan ligt $D'$ op het verlengde van $AB$. Dan heb je met $\Delta BCD'$ een driehoek met zijden $BC=b$, $CD'=c$ en $BD'=d-a$. Een driehoek met die zijden kun je construeren. En dan kun je terugredenerend ook de bijbehorende vierhoek construeren.

Met vriendelijke groet,

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 18 december 2019



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb