De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Som van positieve delers

Ik moet voor $\sigma$(1)+$\sigma$(2)....$\sigma$(n) waarbij $\sigma$ staat voor de som van de positieve delers van een positief geheel getal op combinatorische weg een uitdrukking zien te vinden en ik heb geen idee hoe ik dit moet aanpakken. Als iemand me op weg wil helpen graag.

Tom
Student hbo - maandag 20 mei 2019

Antwoord

Laat ik proberen een beginnetje voor je te maken.
Neem als voorbeeld n=7
Alle getallen van 1 tot 7 zijn deelbaar door 1. Dat levert 7 keer 1 op.
De getallen 2,4 en 6 zijn deelbaar door 2. Dat zijn er 3. Dat levert dus 3 keer 2 op.
De getallen 3 en 6 zijn deelbaar door 3. Dat levert dus 2 keer 3 op.
4 is deelbaar door 4: levert 14
5 is deelbaar door 5: levert 15
6 is deelbaar door 6: levert 16
7 is deelbaar door 7: levert 17
totaal 7+32+23+4+5+6+7=41

Voor het algemene geval heb je ook een formule nodig om uit te rekenen hoeveel getallen kleiner dan of gelijk aan n deelbaar zijn door k:
dat zijn er floor(n/k) (de floor functie geeft het resultaat afgekapt naar beneden.)

Dus voor elke k$\le$n bereken je floor(n/k) en vermenigvuldigt dat met k.
En dat tel je allemaal op.
Dit levert de formule:
$\eqalign{
a(n) = \sum\limits_{k = 1}^n {\sigma (k)} = \sum\limits_{k = 1}^n {k \cdot \left\lfloor {\frac{n}
{k}} \right\rfloor }
}$

$\eqalign{\left\lfloor {\frac{n}
{k}} \right\rfloor}$= floor(n/k)

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 20 mei 2019



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb