De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Goniometrie

Hallo,
Dit weekend lukt het me niet. Ik heb nog 2 vraagjes.
Stel a, b en g zijn de hoeken van een driehoek. Ik moet de volgende identiteiten bewijzen :

sin3a + sin 3b + sin 3g = -4 cos (3a/2) * cos (3b/2)* cos (3g/2)ik heb geprobeerd om het met de halveringsformule op te lossen maar zonder resultaat

sin4a +sin4b + sin 4g = -4sin2a* sin2b*sin2g

isabel
3de graad ASO - zondag 12 november 2017

Antwoord

Het kost enige vasthoudendheid maar het kan wel. Om te beginnen: omdat $3\alpha+3\beta+3\gamma=3\pi$ volgt $3\gamma=3\pi-(3\alpha+3\beta)$ en dus(!) $\sin3\gamma=\sin(3\alpha+3\beta)$ (ga na).
Nu kun je je linkerkant omschrijven tot
$$
\sin3\alpha+\sin3\beta+\sin(3\alpha+3\beta)
$$
en met gonioformules kun je daar
$$
\sin3\alpha\cdot(1+\cos3\beta)+\sin3\beta\cdot(1+\cos3\alpha)
$$
van maken. Nu kun je verdubbelings/halveringsformules gebruiken: $1+\cos x=2\cos^2\frac x2$ en $\sin x=2\sin\frac x2\cdot\cos\frac x2$. Dat brengt je tot
$$
4\cos\frac{3\alpha}2\cdot \cos\frac{3\beta}2 \cdot\sin\left(\frac{3\alpha}2+\frac{3\beta}2\right)
$$
Nu kun je de relatie tussen $\gamma$ en $\alpha+\beta$ nog een keer gebruiken om van die laatste sinus een cosinus te maken.

Wat de tweede opgave betreft, probeer het bovenstaande (met aanpassingen) toe te passen op de linkerkant.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 12 november 2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie IIb